Chứng minh O N = M N và I O ⋅ O H = O K ⋅ O M .

9/11

2) Kẻ \(OH \bot d\) tại \(H,\) dây \(PQ\) cắt \(OH,\,\,OM\) lần lượt tại \(I\) và \(K.\) Chứng minh \(ON = MN\) và \(IO \cdot OH = OK \cdot OM.\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

⦁ Vì \(MP,\,\,MQ\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(M\) nên \(MO\) là tia phân giác của \(\widehat {PMQ}.\) Suy ra \(\widehat {PMO} = \widehat {OMQ}.\)

Xét \(\Delta OMQ\) vuông tại \(Q\) ta có \(\widehat {OMQ} + \widehat {MOQ} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông).

Mà \[\widehat {NOM} + \widehat {MOQ} = \widehat {NOQ} = 90^\circ \] (do \(ON \bot OQ)\) nên \(\widehat {NOM} = \widehat {OMQ} = \widehat {PMO}.\)

Xét \(\Delta NOM\) có \(\widehat {NOM} = \widehat {NMO}\) nên \(\Delta NOM\) cân tại \(N,\) suy ra \(ON = OM.\)

⦁ Vì \(MP,\,\,MQ\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(M\) nên \(MP = MQ,\) suy ra điểm \(M\) nằm trên đường trung trực của \(PQ.\)

Vì \(OP = OQ\) nên điểm \(O\) cũng nằm trên đường trung trực của \(PQ.\)

Do đó \(OM\) là đường trung trực của \(PQ\) nên \(OM \bot PQ\) tại \(K.\)

Xét \(\Delta OIK\) và \(\Delta OMH\) có: \(\widehat {OKI} = \widehat {OHM} = 90^\circ \) và \(\widehat {HOM}\) là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{OI}}{{OM}} = \frac{{OK}}{{OH}}\) nên \(IO \cdot OH = OK \cdot OM.\)