chứng minh nếu a,b,c khác 0 thoả mãn: (ab ac)/2=(bc ba)/3=(ca cb)/4 thì a/3=b/5=c/15.

Lời giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{{ab + ac}}{2} = \frac{{ba + bc}}{3} = \frac{{ca + cb}}{4} = \frac{{ab + ac + ba + bc - ca - cb}}{{2 + 3 - 4}} = \frac{{2ab}}{1}\)    (1)

\(\frac{{ab + ac}}{2} = \frac{{ba + bc}}{3} = \frac{{ca + cb}}{4} = \frac{{ab + ac - ba - bc + ca + cb}}{{2 - 3 + 4}} = \frac{{2ac}}{3}\)       (2)

\(\frac{{ab + ac}}{2} = \frac{{ba + bc}}{3} = \frac{{ca + cb}}{4} = \frac{{ - ab - ac + ba + bc + ca + cb}}{{ - 2 + 3 + 4}} = \frac{{2bc}}{5}\)       (3)

Ta có (1) = (2) và (2) = (3) nên:

\(\frac{{2ab}}{1} = \frac{{2ac}}{3}\)         (4)    và \(\frac{{2ac}}{3} = \frac{{2bc}}{5}\)    (5)

Xét (4) ta có: \(\frac{{2ab}}{1} = \frac{{2ac}}{3}\) suy ra \(\frac{b}{1} = \frac{c}{3}\) nên \(\frac{b}{5} = \frac{c}{{15}}\)        (6)

Xét (5) ta có: \(\frac{{2ac}}{3} = \frac{{2bc}}{5}\) suy ra \(\frac{a}{3} = \frac{b}{5}\)        (7)

Từ (6), (7) suy ra \(\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{{15}}\) (đpcm)