Chứng minh N là trung điểm của E F .

Kẻ \(EP \bot AB.\)

Xét \(\Delta BEP\) và \(\Delta BAE\) có:

\(\widehat {BPE} = \widehat {BEA} = 90^\circ \) và \(\widehat {ABE}\) là góc chung

Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{BE}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BE}}\) hay \(B{E^2} = BA \cdot BP.\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(BM \cdot BN = BA \cdot BP\) nên \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BN}}.\)

Xét \(\Delta BPN\) và \(\Delta BMA\) có:

\(\widehat {ABM}\) là góc chung và \(\frac{{BM}}{{BA}} = \frac{{BP}}{{BN}}.\)

Do đó  (c.g.c). Suy ra \(\widehat {BPN} = \widehat {BMA}\) (hai góc tương ứng). (3)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {BMA} = \widehat {BCA}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BA).\) (4)

Mặt khác, \(\widehat {BCE} + \widehat {BFE} = 180^\circ \) (hai góc đối nhau của tứ giác \(BCEF\) nội tiếp).

Mà \(\widehat {AFE} + \widehat {BFE} = 180^\circ \) (hai góc kề bù) nên \(\widehat {BCE} = \widehat {AFE}\) hay \(\widehat {BCA} = \widehat {AFE}.\) (5)

Từ (3), (4) và (5) suy ra \(\widehat {BPN} = \widehat {AFE}.\)

Xét \(\Delta NPF\) có \(\widehat {FPN} = \widehat {PFN}\) nên \(\Delta NPF\) cân tại \(N,\) suy ra \(NF = NP.\) (6)

Ta có \(\widehat {FPN} + \widehat {NPE} = \widehat {FPE} = 90^\circ \) và \(\widehat {PFN} + \widehat {PEN} = 90^\circ \) (tổng hai góc nhọn trong \(\Delta PEF\) vuông tại \(P)\)

Suy ra \(\widehat {NPE} = \widehat {NEP},\) do đó \(\Delta NPE\) cân tại \(N,\) nên \(NE = NP.\) (7)

Từ (6) và (7) suy ra \(NF = NE\) hay \(N\) là trung điểm của \(EF.\)