Chứng minh M E^ 2 = M H ⋅ M B .

Điểm \[M\] thuộc nửa đường tròn đường kính \[AB\] nên \(\widehat {BMA} = 90^\circ \) hay \(\widehat {BMA} = \widehat {BME} = 90^\circ .\)

Xét \(\Delta BMA\)vuông tại \(M\)và \(\Delta BME\)vuông tại \(M\)có:

\(\widehat {MBA} = \widehat {MBE}\) và \[BM\] là cạnh chung

Do đó \(\Delta BMA = \Delta BME\) (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra\(MA = ME\)(hai cạnh tương ứng).

Ta có \(\widehat {MAC} = \widehat {MBA}\) (hai góc nội tiếp nửa đường tròn \(\left( O \right)\) chắn hai cung bằng nhau).

Xét \(\Delta MAH\;\) và \[\Delta MBA\;\]có: \(\widehat {AMH} = \widehat {BMA} = 90^\circ ,\)\(\widehat {MAC} = \widehat {MBA}\)

Do đó (g.g)

Suy ra \(\frac{{MH}}{{MA}} = \frac{{MA}}{{MB}}\) hay \(M{A^2} = MH \cdot MB.\)

Mà \(MA = ME\) (chứng minh trên) nên \(M{E^2} = MH \cdot MB.\)