Chứng minh M = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + ... + 5^59 + 5^60 chia hết cho 31.

Ta có:

\(M = 5 + {5^2} + {5^3} + {5^4} + {5^5} + {5^6} + ... + {5^{58}} + {5^{59}} + {5^{60}}\) (có 60 số hạng)

\( = \left( {5 + {5^2} + {5^3}} \right) + \left( {{5^4} + {5^5} + {5^6}} \right) + ... + \left( {{5^{58}} + {5^{59}} + {5^{60}}} \right)\) (có 20 nhóm, mỗi nhóm 3 số hạng)

\( = 5.\left( {1 + 5 + {5^2}} \right) + {5^4}.\left( {1 + 5 + {5^2}} \right) + ... + {5^{58}}.\left( {1 + 5 + {5^2}} \right)\)

\( = 5.31 + {5^4}.31 + ... + {5^{58}}.31\)

\( = 31.\left( {5 + {5^4} + ... + {5^{58}}} \right)\)

Do đó giá trị của biểu thức \(M\) chia hết cho 31.