Chứng minh K B ⋅ A C = K C ⋅ A B .

c) Vì $\mathrm{\Delta ABD}\backsim \mathrm{\Delta ACE}$ (câu a) nên \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{CE}}\) (tỉ số đồng dạng).

Mà \[M,{\rm{ }}N\] lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng \[BD\] và \[CE\] nên \[BD = 2BM\] và \[CE = 2CN.\]

Suy ra \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{CE}} = \frac{{2BM}}{{2CN}} = \frac{{BM}}{{CN}}.\)

Xét \[\Delta ABM\] và \[\Delta ACN\] có:

\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{BM}}{{CN}}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}\) (do cùng phụ với \(\widehat {BAC}\))

Do đó $\mathrm{\Delta ABM}\backsim \mathrm{\Delta ACN}$ ( c.g.c)

Suy ra \[\widehat {BAM} = \widehat {CAN}\] (hai góc tương ứng)

Lại có AK là tia phân giác của \(\widehat {MAN}\) (giả thiết)

Suy ra \[\widehat {MAK} = \widehat {NAK}\] (tính chất tia phân giác của một góc)

Do đó \[\widehat {BAM} + \widehat {MAK} = \widehat {CAN} + \widehat {NAK}\] hay \(\widehat {BAK} = \widehat {KAC}\)

Nên \[AK\] là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\).

Theo tính chất tia phân giác của tam giác ta có: \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{KB}}{{KC}}\).

Do đó \[KB \cdot AC = KC \cdot AB\] (điều phải chứng minh).