Chứng minh G M < 1/ 4 ( B C + A G ) .

c) Ta có \(BN,AH\) là các đường trung tuyến của tam giác \(ABC\).

Mà \(BN\) và cạnh \(AH\) cắt nhau tại \(G\) nên \(G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\).

Ta có \(BK = BN + NK = 3GN + NK = 3GN + GN = 4GN\).

Mà theo bất đẳng thức về cạnh trong tam giác, có \(BC + KC > BK\).

Suy ra \(4GN < BC + CK\). (1)

Có \(\Delta AGN = \Delta CKN\) (câu b) nên \(AG = CK\) (hai cạnh tương ứng)

Xét \(\Delta MAG\) và \(\Delta NAG\) có:

\(AM = AN = \frac{1}{2}AB\)

\(\widehat {MAG} = \widehat {NAG}\) (\(AG\) vừa là trung tuyến, vừa là phân giác trong \(\Delta ABC\) cân)

\(AG\) chung

Do đó, \(\Delta MAG = \Delta NAG\) (c.g.c)

Suy ra \(MG = NG\) (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(4GN < BC + CK\) hay \(4GM < BC + AG\) nên \(GM < \frac{1}{4}\left( {BC + AG} \right)\) (đpcm).