Chứng minh E chia hết cho 2025.

Lời giải:

• Từ 1 đến 2024 có 404 số chia hết cho 5 suy ra 2024! chia hết cho 5⁴⁰⁴

Nhận thấy n < 5⁵ với mọi n ∈ℕ, n ≤ 2024

Suy ra \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho \({5^{404 - 5}}\)= 5³⁰⁹ với mọi n ∈ℕ, n ≤ 2024

Nên \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho 25 với mọi n ∈ℕ, n ≤ 2024

Do đó E ⋮ 25.         (1)

• Từ 1 đến 2024 có 674 số chia hết cho 3 suy ra 2024! chia hết cho 3⁶⁷⁴

Nhận thấy n < 3⁷ với mọi n ∈ℕ, n ≤ 2024

Suy ra \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho 3^{674 – 7} = 3⁶⁶⁷ với mọi n ∈ℕ, n ≤ 2024

Nên \(\frac{{2024!}}{n}\) chia hết cho 3⁴ = 81 với mọi n ∈ℕ, n ≤ 2024

Suy ra E ⋮ 81 (2)

Từ (1) và (2) suy ra ƯCLN(25, 81) =1 nên E chia hết cho 25.81 = 2025.