Chứng minh diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn A B ⋅ B C + A D ⋅ D C/ 2 .

Kẻ CH vuông góc với AB tại H, A K vuông góc với DC tại \(K\). Khi đó, diện tích của tam giác ABC là: \({S_1} = \frac{{AB \cdot CH}}{2}\) và diện tích của tam giác ACD là: \({S_2} = \frac{{DC \cdot AK}}{2}\).

Diện tích của tứ giác ABCD là: \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{AB \cdot CH + AK \cdot DC}}{2}.\)

Mà \(CH \le BC\) và \(AK \le AD\), suy ra\(S \le \frac{{AB \cdot BC + AD \cdot DC}}{2}.\)

Vậy diện tích của tứ giác ABCD không lớn hơn \(\frac{{AB \cdot BC + AD \cdot DC}}{2}\).