Chứng minh điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi vec tơ GA +GB +GC= véc tơ 0
Giải thích
Gọi D, E, F là trung điểm BC, AC, AB
* Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC thì GA→+GB→+GC→=0→
Ta có: GA→+GB→+GC→=GA→+GB→+GC→=GA→+2GD→ (Vì D là trung điểm BC)
Mà G là trọng tâm của tam giác ABC nên GA = 2GD
Suy ra: GA→=−2GD→ ⇒ GA→+2GD→=0→
⇒ GA→+GB→+GC→=0→
* Chứng minh GA→+GB→+GC→=0→ thì G là trọng tâm của tam giác ABC.
Ta có: GA→+GB→+GC→=0→
⇒ GA→+GB→+GC→=0→
⇒ GA→+2GD→=0→
⇒ GA→=−2GD→
⇒ A, G, D thẳng hàng; G nằm giữa A và D; GA = 2GD
Mà AD là trung tuyến của tam giác ABC
Suy ra: G là trọng tâm của tam giác ABC.