Chứng minh: D A/ D H + D B/ D S = D E/ D K .

11/12

c) Gọi \[S\] là giao điểm của \[BD\] với \[MF,\] tia \[CS\] lần lượt cắt \[AD,\]\[DE\] tại \[H\] và \[K.\] Chứng minh: \[\frac{{DA}}{{DH}} + \frac{{DB}}{{DS}} = \frac{{DE}}{{DK}}.\]

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Chứng minh: \[\frac{{DA}}{{DH}} + \frac{{DB}}{{DS}} = \frac{{DE}}{{DK}}.\] (ảnh 1)$

Kẻ \[AJ\,{\rm{//}}\,HK\] và \[BI\,{\rm{//}}\,HK\]\[\left( {I,\,\,J \in DE} \right).\]

Theo định lí Thalès, ta có: $\frac{{DA}}{{DH}} = \frac{{DJ}}{{DK}};\,\,\frac{{DB}}{{DS}} = \frac{{DI}}{{DK}}.$

Suy ra $\frac{{DA}}{{DH}} + \frac{{DB}}{{DS}} = \frac{{DJ}}{{DK}} + \frac{{DI}}{{DK}} = \frac{{DJ + DI}}{{DK}}$ (5)

Do \[AJ\,{\rm{//}}\,HK\] và \[BI\,{\rm{//}}\,HK\] nên $AJ\,{\rm{//}}\,BI$ suy ra $\widehat {MBI} = \widehat {MAJ}$ (so le trong).

Xét \[\Delta BIM\] và $\Delta AJM$ có:

$\widehat {BMI} = \widehat {AMJ} = 90^\circ ,$$MA = MB,$$\widehat {MBI} = \widehat {MAJ}$

Do đó \[\Delta BIM = \Delta AJM\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề). Suy ra $MI = MJ$ (hai cạnh tương ứng).

Lại có $MD = ME$ nên $MD - MI = ME - MJ$ hay $DI = EJ$ (6)

Từ (5) và (6) suy ra $\frac{{DA}}{{DH}} + \frac{{DB}}{{DS}} = \frac{{DJ + JE}}{{DK}} = \frac{{DE}}{{DK}}.$