Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1), trang 35 ) bằng phương pháp quy nạp toán học.

Hướng dẫn giải

+) Với n = 1, ta có: (a + b)1 = a + b = C10a1+C11b1.

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k ≥ 1 là một số nguyên dương tuỳ ý mà công thức đúng đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

(a+b)k+1=Ck+10ak+1+Ck+11a(k+1)−1b+...+Ck+1(k+1)−1ab(k+1)−1+Ck+1k+1bk+1.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

(a+b)k=Ck0ak+Ck1ak−1b+...+Ckk−1abk−1+Ckkbk.

Khi đó:

(a+b)k+1=(a+b)(a+b)k

=a(a+b)k+b(a+b)k

=a(Ck0ak+Ck1ak−1b+...+Ckk−1abk−1+Ckkbk)

+b(Ck0ak+Ck1ak−1b+...+Ckk−1abk−1+Ckkbk)

=(Ck0ak+1+Ck1akb+Ck2ak−1b2+...+Ckk−1a2bk−1+Ckkabk)

+(Ck0akb+Ck1ak−1b2+...+Ckk−2a2bk−1+Ckk−1abk+Ckkbk+1)

=Ck0ak+1+(Ck0+Ck1)akb+(Ck1+Ck2)ak−1b2+...

+(Ckk−2+Ckk−1)a2bk−1+(Ckk−1+Ckk)abk+Ckkbk+1

=1.ak+1+Ck+11akb+Ck+12ak−1b2+...+Ck+1k−1a2bk−1+Ck+1kabk+1.bk+1 

(vì Cki+Cki+1=Ck+1i+1  ∀0≤i≤k, i ∈ ℕ, k∈ ℕ*)

=Ck+10ak+1+Ck+11a(k+1)−1b+...+Ck+1(k+1)−1ab(k+1)−1+Ck+1k+1bk+1.

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.