Chứng minh công thức nhị thức Newton bằng phương pháp quy nạp:

+) Với n = 1, ta có: (a + b)¹ = a + b =

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

(a+b)k+1=Ck+10ak+1+Ck+11a(k+1)−1b+...+Ck+1(k+1)−1ab(k+1)−1+Ck+1k+1bk+1.

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

(a+b)k=Ck0ak+Ck1ak−1b+...+Ckk−1abk−1+Ckkbk.

Khi đó:

(a+b)k+1=a+ba+bk

=aa+bk+ba+bk

=aCk0ak+Ck1ak−1b+...+Ckk−1abk−1+Ckkbk

+bCk0ak+Ck1ak−1b+...+Ckk−1abk−1+Ckkbk

=Ck0ak+1+Ck1akb+Ck2ak−1b2+...+Ckk−1a2bk−1+Ckkabk

+Ck0akb+Ck1ak−1b2+...+Ckk−2a2bk−1+Ckk−1abk+Ckkbk+1

=Ck0ak+1+Ck0+Ck1akb+Ck1+Ck2ak−1b2+...

+Ckk−2+Ckk−1a2bk−1+Ckk−1+Ckkabk+Ckkbk+1

=1.ak+1+Ck+11akb+Ck+12ak−1b2+...+Ck+1k−1a2bk−1+Ck+1kabk+1.bk+1

(vì Cki+Cki+1=Ck+1i+1  ∀0≤i≤k, i∈ℕ, k∈ℕ*)

=Ck+10ak+1+Ck+11a(k+1)−1b+...+Ck+1(k+1)−1ab(k+1)−1+Ck+1k+1bk+1.

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n∈ℕ^*.