Chứng minh có vô số số nguyên tố có dạng 4k + 3

Giả sử phản chứng rằng có hữu hạn số nguyên tố có dạng 4k + 3 là

4k1 + 3, 4k2 + 3, …, 4kn + 3

Ta sẽ chứng minh số nguyên tố

P = 4(4k1 + 3)…(4kn + 3)  + 3

= 4m + 3 là một số nguyên tố.

Do 4k + 3 ≥ 3 với mọi số k, suy ra ta thấy p > m.

Hơn nữa, p không chia hết cho các số nguyên tố 4k1 + 3,…,4kn + 3 , cụ thể khi p chia cho các số nguyên tố 4k1 + 3,…,4kn + 3 sẽ dư 3.

Vậy p là số nguyên tố. (mâu thuẫn với giả thiết)

Hơn nữa, p cũng có dạng là 4k + 3.

Vậy phải có vô số nguyên tố dạng 4k + 3.