Chứng minh các số 3^n + 4 là số chính phương

Đặt 3n + 4 = a2

Vì 3n là số lẻ, 4 là số chẵn nên 3n + 4 là số lẻ

Suy ra: a2 là số lẻ

⇒ a là số lẻ

⇒ a có dạng 4k + 1 hoặc 4k + 3.

+) Nếu a = 4k + 1 thì a2 = (4k + 1)2 = 16k2 + 8k + 1 = 8m + 1

+) Nếu a = 4k + 3 thì a2 = (4k + 3)2 = 16k2 + 24k + 9 = 8m + 1

Vậy a2 = 8m + 1 (1)

Mặt khác nếu n chẵn thì 3n + 4 = 32k + 4 = 9k + 4 = (8 + 1)3k + 4 = 8h + 1 + 4 = 8h + 5 (trái với (1))

Nếu n lẻ thì n = 2k + 1 ⇒ 3n + 4 = 32k + 1 + 4 = 9k.3 + 4 = 8h + 1 (trái với (1))

Vậy 3n + 4 không thể là số chính phương.