Chứng minh các phân số sau tối giản với mọi số tự nhiên n : a) ( n + 1)/( 2n + 3) .

Hướng dẫn giải:

a) Với \(n \in \mathbb{N},\) gọi \[d = \]ƯCLN\[\left( {n + 1,\,2n + 3} \right)\]

Suy ra \[n + 1 \vdots d\] nên \(2\left( {n + 1} \right) \vdots d\) hay \[2n + 2 \vdots d\]

\[2n + 3 \vdots d\]

Do đó \[\left[ {\left( {2n + 3} \right) - \left( {2n + 2} \right)} \right] \vdots d\] hay \[1 \vdots d\]

Suy ra \[d = 1\]

Khi đó ƯCLN\[\left( {n + 1,\,2n + 3} \right) = 1\].

Vậy \[\frac{{n + 1}}{{2n + 3}}\] là phân số sau tối giản với \(n \in \mathbb{N}.\)

b) Với \(n \in \mathbb{N},\) gọi \(d = \)ƯCLN\(\left( {3n - 2,4n - 3} \right)\)

Suy ra \(3n - 2 \vdots d\) nên \(4 \cdot \left( {3n - 2} \right) \vdots d\) hay \(12n - 8 \vdots d\)

\(4n - 3 \vdots d\) nên \(3 \cdot \left( {4n - 3} \right) \vdots d\) hay \(12n - 9 \vdots d\)

Do đó: \(\left[ {\left( {12n - 8} \right) - \left( {12n - 9} \right)} \right] \vdots d\)

\(12n - 8 - 12n + 9 \vdots d\)

\(1 \vdots d\)

Suy ra \(d = 1\)

Khi đó ƯCLN\(\left( {3n - 2,4n - 3} \right) = 1.\)

Vậy phân số \(\frac{{3n - 2}}{{4n - 3}}\) là phân số tối giản với \(n \in \mathbb{N}.\)