Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định ngoài đường tròn. Vẽ đường thẳng d vuông góc với (ảnh 1)

a) Do ME, MF là tiếp tuyến với đường tròn suy ra ME = MF nên M thuộc đường trung trực của EF.

Ta có OE = OF nên O thuộc đường trung trực của EF.

Do đó OM là đường trung trực của EF.

Þ EF ⊥ OM.

Tứ giác ABHM có BAM^=BHM^=90° , mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác này nội tiếp đường tròn bán kính MB.

b) Xét DOHB và DOAM có:

OHB^=OAM^=90°;MOA^ chung

⇒ΔOHB∽ΔOAMg.g

⇒OHOA=OBAM (tỉ số đồng dạng)

Þ OA.OB = OH.OM (1)

Xét DOHE và DOEM có:

OHE^=OEM^=90°; MOE^ chung

⇒ΔOHE∽ΔOEMg.g

⇒OHOE=OEOM (tỉ số đồng dạng)

Þ OH.OM = OE² (2)

Từ (1) và (2) suy ra OA.OB = OH.OM = OE² = R².

c) Gọi I là giao điểm của OM với đường tròn (O). Nối FI.

Ta có: MFI^=FEI^ (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung FI)

Do EF ⊥ OM nên FI⏜=EI⏜ suy ra FEI^=EFI^ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

⇒MFI^=EFI^

Suy ra FI là phân giác của MFE^.

Lại có MI là phân giác của góc EMF^ (do ME, MF là tiếp tuyến của (O)).

Do đó I là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác MEF.

Þ I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF.

Mà I thuộc đường tròn (O) cố định. Suy ra đpcm.

d) Diện tích tam giác HBO là: S=12HO.HB

Xét DOHB và DOAM có:

OHB^=OAM^=90°; AOM^ là góc chung

⇒ΔOHB∽ΔOAMg.g

Chứng minh các hệ thức: a) 1 + tan ^2a= 1/ cos ^2a; b) 1+ cot^2a= 1/ sin ^2a.