Chứng minh  BM = MN.

Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AD cắt BD tại I.

Hạ DH vuông góc BC tại H.

Ta có: AB ⊥ AD; MI⊥ AD Suy ra AB // MI nên \(\widehat {MIB} = 180^\circ - \widehat {ABD}\)

Xét ΔADB có \(\widehat {BAD}\)= 90°; AB = AD.

Suy ra ΔADB vuông cân tại A nên \(\widehat {ABD}\) = 45°.

Suy ra \(\widehat {MIB}\) = 135° (1)

Dễ thấy, tứ giác ADHB là hình vuông nên DH = BH = AB = \(\frac{1}{2}BC\).

Suy ra DH = BH = CH = \(\frac{1}{2}BC\)

Xét ΔBDC vuông tại D nên \(\widehat {BDC}\) = 90°

Suy ra \(\widehat {MDN} = \widehat {BDC} + \widehat {ADB}\)= 90° + 45°= 135° (2)

Từ (1) và  (2) ta có \(\widehat {MIB} = \widehat {MDN}\)

Xét ΔMIB  và ΔMDN có:

\(\widehat {MIB} = \widehat {MDN}\)

IM = DM (= \(\frac{1}{2}AB\))

\(\widehat {IMB} = \widehat {BMN}\) (cùng phụ \(\widehat {IMN}\))

Do đó ΔMIB = ΔMDN (g.c.g).

Suy ra MB = MN (đpcm).