Chứng minh BD<2ac/(a+c)  với AB= c, BC=a.

Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho BK=BA.

Ta có tam giác ABK cân tại B nên BKA^=BAK^=12ABC^ (tính chất góc ngoài tam giác).

Mà EBD^=DBF^=12ABC^⇒AKB^=DBF^⇒BD//AK⇒BDAK=CBCK (hệ quả định lý Ta-lét)

 ⇒BDAK=CBBC+BK=aa+c(1)

Trong tam giác ABK có: 

AK<AB+BK=c+c=2c (định lý về độ dài cạnh trong tam giác) (2).

Từ (1) và (2) có:  BD<aa+c.2c=2aca+c

Vậy BD<2aca+c.