Chứng minh bất đẳng thức: a1^2/a2 +a3 + a4 + a2^2/a3 + a4 +a5 + a3^2/a4 + a5 + a1 + a4^2/a5 + a1 + a2 + a5^2/a1+ a2 + a3 lớn hơn bằng căn bậc hai 5/3

Đặt:

A=a12a2+a3+a4+a22a3+a4+a5+a32a4+a5+a1+a42a5+a1+a2+a52a1+a2+a3B=a12(a2+a3+a4)+a22(a3+a4+a5)+a32(a4+a5+a1)+a42(a5+a1+a2)+a52(a1+a2+a3)C=a12(a2+a3+a4)2+a22(a3+a4+a5)2+a32(a4+a5+a1)2+a42(a5+a1+a2)2+a52(a1+a2+a3)2D=3a12(a2+a3+a4)+a22(a3+a4+a5)+a32(a4+a5+a1)+a42(a5+a1+a2)+a52(a1+a2+a3)E=a12+a22+a32+a42+a52

Do:

3(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2 đúng với ∀x,y,z∈ℝ

Nên

D≥C                                                                        (1)

Bằng biến đổi đơn giản, ta có:

59E2−D=310[(a12+a22−a32−a42)2+(a22+a32−a42−a52)2+(a32+a42−a52−a12)2                           +(a42+a52−a12−a22)2+(a52+a12−a22−a32)2+(a12−a42)2                                    +(a12−a32)2+(a22−a42)2+(a22−a52)2+(a32−a42)2]≥0 

Nên 59E2≥0                                                                   (2)

Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được:

A.B≥E2                                                                    (3)

Vận dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta thu được:

B2≤EC                                                                    

Từ (1) và (2), ta có:

B2≤EC≤ED≤E.59E2=59E3                                        (4)

Từ (3) và (4), ta thu được: A≥53E≥53, do E≥1.

Đẳng thức chỉ xảy ra khi: a1=a2=a3=a4=a5=15