Chứng minh ba điểm M,H,K thẳng hàng.

Vì \(\widehat {HCD} = 90^\circ \) nên \(\widehat {HCM} = 90^\circ ,\) suy ra ba điểm \(H,\,\,C,\,\,M\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(HM.\)

Tương tự, ta có ba điểm \(H,\,\,B,\,\,M\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(HM.\)

Do đó, bốn điểm \(H,\,\,B,\,\,M,\,\,C\) cùng nằm trên đường tròn đường kính \(HM.\)

Như vậy, tứ giác \(HBMC\) nội tiếp đường tròn đường kính \(HM.\)

Suy ra \(\widehat {MHC} = \widehat {MBC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MC).\)   (1)

Do tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) nên \[\widehat {CBA} + \widehat {ADC} = 180^\circ \] (tổng hai góc đối nhau)

Tứ giác \(CDKH\)nội tiếp đường tròn đường kính \(HD\) nên \(\widehat {CHK} + \widehat {KDC} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối nhau) hay \[\widehat {CHK} + \widehat {ADC} = 180^\circ \].

Suy ra \[\widehat {CBA} = \widehat {CHK}.\]

Lại có \[\widehat {MBC} + \widehat {CBA} = 180^\circ \] (hai góc kề bù) nên \[\widehat {MBC} + \widehat {CHK} = 180^\circ \] (2)

Từ (1) và (2) suy ra \[\widehat {MHC} + \widehat {CHK} = 180^\circ \] hay \(\widehat {MHK} = 180^\circ .\)

Do đó ba điểm \(M,\,\,H,\,\,K\) thẳng hàng.