Chứng minh ba điểm I , A , N thẳng hàng.

Do  (chứng minh ở câu b) nên \[\widehat {APQ} = \widehat {HCB}\] hay \[\widehat {APN} = \widehat {HCM}.\]

Từ câu b, có \(AP \cdot CM = PN \cdot HC\) suy ra \(\frac{{AP}}{{HC}} = \frac{{PN}}{{CM}}.\)

Xét \(\Delta APN\) và \(\Delta HCM\) có: \[\widehat {APN} = \widehat {HCM}\] và \(\frac{{AP}}{{HC}} = \frac{{PN}}{{CM}}.\)

Do đó  (c.g.c). Suy ra \(\widehat {PAN} = \widehat {CHM}.\)

Mà \(\widehat {CHM} = \widehat {IHF}\) (đối đỉnh) nên \(\widehat {PAN} = \widehat {IHF}.\) (3)

Kẻ đường kính \(AK\) của đường tròn \(\left( O \right)\) và gọi \(F\) là giao điểm của \(CH\) và \(AB.\)

Xét \(\Delta ABC\) có hai đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H\) nên \(H\) là trực tâm của tam giác, suy ra \(CF \bot AB\) tại \(F.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\widehat {ABK} = \widehat {ACK} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(KB \bot AB,\,\,KC \bot AC.\)
Do đó \(BH\,{\rm{//}}\,KC\) (cùng vuông góc với \(AC)\) và \(CH\,{\rm{//}}\,KB\) (cùng vuông góc với \(AB)\)

Suy ra tứ giác \(BHCK\) là hình bình hành nên hai đường chéo \(BC,\,\,HK\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Xét \(\Delta OBC\) cân tại \(O\) (do \(OB = OC)\) nên đường cao \(OM\) đồng thời là đường trung tuyến của tam giác, hay \(M\) là trung điểm của \(BC.\)

Suy ra \(M\) là trung điểm của \(HK\) nên \(H,\,\,M,\,\,K\) thẳng hàng.

Do đó \(I,\,\,H,\,\,K\) thằng hàng nên \(\widehat {AIH} = \widehat {AIK} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)).\)

\(\Delta AIH\) vuông tại \(I\) nên ba điểm \[A,\,\,I,\,\,H\] thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)

\(\Delta AFH\) vuông tại \(F\) nên ba điểm \(A,\,\,F,\,\,H\) thuộc đường tròn đường kính \(AH.\)

Suy ra \(A,\,\,I,\,\,F,\,\,H\) cùng thuộc một đường tròn nên \(\widehat {IAF} = \widehat {IHF}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(IF).\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {PAN} = \widehat {IAF}.\)

Lại có \(\widehat {PAN} + \widehat {NAF} = 180^\circ \) nên \(\widehat {NAF} + \widehat {IAF} = 180^\circ \) hay \(\widehat {NAI} = 180^\circ \)

Vậy ba điểm \(N,\,\,A,\,\,I\) thẳng hàng.