Chứng minh B D ⋅ H E + C E ⋅ H D = B C ⋅ H I .

Hướng dẫn giải

 

2) Xét đường tròn đường kính \(AH,\) ta có: \(\widehat {DAH} = \widehat {DEH}\) (góc nội tiếp cùng chắn
Lại có \(\widehat {DAH} = \widehat {DHB}\) (cùng phụ với \(\widehat {DHA}).\)

Suy ra \(\widehat {DEH} = \widehat {DHB}\) hay \[\widehat {IEH} = \widehat {DHB}.\]

Xét \(\Delta BDH\) và \(\Delta HIE\) có:

\(\widehat {BDH} = \widehat {HIE} = 90^\circ \) và \[\widehat {IEH} = \widehat {DHB}\] (chứng minh trên).

Do đó  (g.g).

Suy ra: \(\frac{{BD}}{{HI}} = \frac{{BH}}{{HE}}\) hay \(BD \cdot HE = BH \cdot HI.\) (1)

Chứng minh tương tự, ta có:  (g.g).

Suy ra: \(\frac{{CE}}{{HI}} = \frac{{CH}}{{HD}}\) hay \(CE \cdot HD = CH \cdot HI.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\[BD \cdot HE + CE \cdot HD = BH \cdot HI + CH \cdot HI = \left( {BH + CH} \right) \cdot HI = BC \cdot HI.\]