Chứng minh a^3/b + b^3/c + c^3/a lớn hơn bằng ab + bc + ca

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

a3b+ab≥2a3b.ab=2a2 (1)

b3c+bc≥2b3c.bc=2b2 (2)

c3a+ca≥2c3a.ca=2c2 (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) nên ta có:

a3b+ab+b3c+bc+c3a+ca≥2a2+2b2+2c2⇔a3b+b3c+c3a≥2a2+b2+c2−ab+bc+ca

Theo hệ quả của BĐT AM - GM thì: a2+b2+c2≥ab+bc+ca

Do đó a3b+b3c+c3a≥2ab+bc+ca−ab+bc+ca=ab+bc+ca

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c > 0