Chứng minh ˆ A P Q = ˆ B E D và A P ⋅ C M = P N ⋅ H C .

Do OM⊥BC và AD⊥BC nên AD//PM, suy ra APQ^=BAD^ (đồng vị).  

Tứ giác ABDE nội tiếp nên BAD^=BED^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BD).

Suy ra APQ^=BED^. (1)

Chứng minh tương tự câu a), ta có tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn đường kính HC nên HED^=HCD^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD) hay BED^=HCB^. (2)

Từ (1) và (2) suy ra APQ^=HCB^.

⦁ Ta có AD//PM nên AQP^=DAQ^ (so le trong).

Tứ giác ABDE nội tiếp nên DAE^=DBE^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung DE) hay DAQ^=HBC^. Do đó AQP^=HBC^.

Xét ΔAPQ và ΔHCBcó: APQ^=HCB^ và AQP^=HBC^

Do đó  (g.g). Suy ra PQCB=APHC hay AP⋅BC=PQ⋅HC.

Mà PQ=2PN và BC=2CM (do N,M lần lượt là trung điểm của PQ,BC).

Suy ra AP⋅2CM=2PN⋅HC hay AP⋅CM=PN⋅HC.