Chứng minh A O vuông góc B C và A B ⋅ E H = A E ⋅ B H .

17/18

1) Chứng minh $AO \bot BC$ và $AB \cdot EH = AE \cdot BH.$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$1) Chứng minh $AO \bot BC$ và $AB \cdot EH = AE \cdot BH.$ (ảnh 1)$

⦁Ta có $OB = OC$ nên $O$ nằm trên đường trung trực của $BC.$

Do $AB,\,\,AC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $A$ nên $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau). Do đó điểm $A$ nằm trên đường trung trực của $BC.$

Như vậy, $AO$ là đường trung trực của $BC.$

Suy ra $AO \bot BC$ tại $H.$

⦁ Gọi $I$ là giao điểm của tia $AO$ với đường tròn $\left( O \right)$$(I$ khác $E).$

Xét đường tròn $\left( O \right)$ có $\widehat {BIE},\,\,\widehat {BOE}$ lần lượt là góc nội tiếp, góc ở tâm cùng chắn cung $BE$ nên $\widehat {BIE} = \frac{1}{2}\widehat {BOE}$

Lại có $\Delta OBE$ cân tại $O$ (do $OB = OE)$ nên $\widehat {OBE} = \widehat {OEB} = \frac{{180^\circ - \widehat {BOE}}}{2} = 90^\circ - \frac{1}{2}\widehat {BOE}.$

Suy ra $\widehat {OBE} = 90^\circ - \widehat {BIE}$ hay $\widehat {BIE} = 90^\circ - \widehat {OBE}.$

Ta có: $\widehat {ABE} + \widehat {EBO} = \widehat {ABO} = 90^\circ $ nên $\widehat {ABE} = 90^\circ - \widehat {EBO}.$

Do đó $\widehat {BIE} = \widehat {ABE}$ hay $\widehat {ABE} = \widehat {AIB}.$

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta AIB$ có: $\widehat {BAI}$ là góc chung và $\widehat {ABE} = \widehat {AIB}.$

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{BE}}{{IB}} = \frac{{AE}}{{AB}}.$ (1)

Xét $\Delta BHE$ và \[\Delta IHB\] có: $\widehat {BHE} = \widehat {IHB} = 90^\circ $ và $\widehat {BEH} = \widehat {IBH}$ (cùng phụ với $\widehat {BIH})$

Do đó (g.g). Suy ra $\frac{{BE}}{{IB}} = \frac{{HE}}{{HB}}.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{HE}}{{HB}}$ nên $AB \cdot EH = AE \cdot BH.$