Chứng minh A H = 2 O I .

3) Kẻ đường kính \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right).\)

Khi đó, \(\widehat {ACD} = \widehat {ABD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đưởng tròn).

Ta có: \(BM \bot AC,\,\,DC \bot AC\) nên \(BM\,{\rm{//}}\,DC\) hay \(BH\,{\rm{//}}\,DC.\)

Tương tự, ta có \(CH\,{\rm{//}}\,DB.\)

Tứ giác \(BHCD\) có \(BH\,{\rm{//}}\,DC\) và \(CH\,{\rm{//}}\,DB\) nên tứ giác \(BHCD\) là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo \(BC\) và \(HD\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(I\) là trung điểm của \(BC\)nên \(I\) là trung điểm của \(HD.\)

Xét \(\Delta AHD\) có \(O,\,\,I\) lần lượt là trung điểm của \(AD,\,\,HD\) nên \(OI\) là đường trung bình của \(\Delta AHD\) suy ra \[OI = \frac{1}{2}AH\] hay \[AH = 2OI.\]