Chứng minh A E . A B = A D^ 2 = A F . A C và góc A F E = góc A B C .

Xét \(\Delta AED\) và \(\Delta ADB\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\widehat {AED} = \widehat {ADB} = 90^\circ \)

Suy ra (g.g)

Suy ra \(\frac{{AE}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AB}}\), suy ra \(AE.AB = A{D^2}\) (1)

Xét \(\Delta AFD\) và \(\Delta ADC\) có:

\(\widehat A\) chung

\(\widehat {AFD} = \widehat {ADC} = 90^\circ \) (gt)

Suy ra (g.g)

Suy ra \(\frac{{AF}}{{AD}} = \frac{{AD}}{{AC}}\) suy ra \(AF.AC = A{D^2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(AE.AB = A{D^2} = AF.AC.\)

Do đó, \(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\).

Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ACB\)có:

\(\widehat A\) chung

\(\frac{{AE}}{{AF}} = \frac{{AC}}{{AB}}\) (cmt)

Suy ra (c.g.c)

Suy ra \(\widehat {AEF} = \widehat {ACB}\).