Chứng minh 2^n – 1 không là số chính phương.

Lời giải

Giả sử tồn tại n để 2ⁿ – 1  = a²

Suy ra a lẻ. Khi đó:

a² – 1 = 2ⁿ – 2

 (a – 1) (a + 1) = 2 (2^n-1 – 1)

Vì a lẻ nên a = 2k + 1 suy ra 2k(2k + 2) = 2 (2^n-1 – 1)

Do đó 4k(k + 1) = 2 (2^n-1 – 1) (vô lí)

Vậy với mọi n thì 2ⁿ – 1 không là số chính phương.