Chứng minh  1/ 2 căn 1 + 1/ 3 căn 2 + 1/ 4 căn 3 +...+ 1/ 2005 căn 2004 < 2

Với mọi n ∈ ℕ* ta có

 1n+1n<21n−1n+1
 ⇔1<21n−1n+1n+1n
 ⇔1<2n+1−2nn+1
 ⇔n+1−2nn+1+n>0

 ⇔n+1−n2>0 (luôn đúng)

Áp dụng bất đẳng thức trên ta có

 121<211−12
 132<212−13

...

 120052004<212004−12005

Suy ra

121+132+143+...+120052004<211−12+12−13+...+12004−12005

⇔121+132+143+...+120052004<21−12005<2

Vậy  121+132+143+...+120052004<2.