Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn Minh Hiền đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên d
21/30
Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn Minh Hiền đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng \[OO' = 5\]\[{\rm{cm}}\], \[OA = 10\]\[{\rm{cm}}\], \[OB = 20\] \[{\rm{cm}}\], đường cong \[AB\] là một phần của parabol có đỉnh là điểm\[A\]. Thể tích của chiếc mũ bằng
\(\frac{{2750\pi }}{3}\) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
\(\frac{{2500\pi }}{3}\) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
\(\frac{{2050\pi }}{3}\)\(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
\(\frac{{2250\pi }}{3}\) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)
Chọn B
Ta gọi thể tích của chiếc mũ là \(V\).
Thể tích của khối trụ có bán kính đáy bằng \(OA = 10\) cm và đường cao \(OO' = 5\) cm là \({V_1}\).
Thể tích của vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(AB\)và hai trục tọa độ quanh trục \(Oy\)là \({V_2}\).
Ta có \(V = {V_1} + {V_2}\)
\({V_1} = {5.10^2}\pi = 500\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
Do parabol có đỉnh \(A\) nên nó có phương trình dạng \((P):y = a{(x - 10)^2}\).
Vì \(\left( P \right)\) qua điểm \(B\left( {0;20} \right)\) nên \(a = \frac{1}{5}\).
Do đó, \(\left( P \right):y = \frac{1}{5}{\left( {x - 10} \right)^2}\). Từ đó suy ra \(x = 10 - \sqrt {5y} \) (do \(x < 10\)).
Suy ra \({V_2} = \pi \int\limits_0^{20} {{{\left( {10 - \sqrt {5y} } \right)}^2}{\rm{dy}}} = \pi \left( {3000 - \frac{{8000}}{3}} \right) = \frac{{1000}}{3}\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).
Do đó \(V = {V_1} + {V_2} = \frac{{1000}}{3}\pi + 500\pi = \frac{{2500}}{3}\pi \) \(\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).