Chu vi một đa giác là 158 cm. Biết rằng số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng. Biết cạnh lớn nhất là 44 cm. Tính cạnh nhỏ nhất của đa giác đó.

Hướng dẫn giải:

Giả sử đa giác đã cho có \(n\) cạnh \(\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \ge 3} \right)\) và số đo các cạnh lập thành cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với \({u_n} = 44\). Khi đó chu vi của đa giác là tổng cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\), tức là:

\({S_n} = \frac{{n\left( {{u_1} + {u_n}} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {{u_1} + 44} \right)}}{2} = 158\)

\( \Leftrightarrow n\left( {{u_1} + 44} \right) = 316\)

Vì \(n\) và \({u_1} + 44\) là một số nguyên dương nên \({u_1} + 44 \in \)Ư\(\left( {316} \right) = \left\{ {1;2;4;79;158;316} \right\}\).

Mặt khác \(n \ge 3\) nên \(44 < {u_1} + 44 \le \frac{{316}}{3} \Leftrightarrow 44 < {u_1} + 44 \le 105\).

\( \Rightarrow {u_1} + 44 = 79 \Leftrightarrow {u_1} = 35\).

Vậy đa giác đó có cạnh nhỏ nhất là 35 cm.