Chọn ngẫu nhiên cặp số (x, y) thỏa mãn x, y thuộc tập hợp {2008; 2008^2; 2008^3; ...; 2008^25}, xét biến cố A “log cơ số x của y có giá trị là một số nguyên”.

22/22

Chọn ngẫu nhiên cặp số bất kỳ \(\left( {x,\,y} \right)\) thoả mãn \(x,\,y\) thuộc tập hợp \(\left\{ {2008;\,{{2008}^2};\,{{2008}^3};\,...;\,{{2008}^{24}};\,{{2008}^{25}}} \right\}\), xét biến cố \(A\)“\({\log _x}y\) có giá trị là một số nguyên”. Biết rằng xác suất của biến cố \(A\) bằng \(\frac{a}{b}\) (với \(a,\,b\) là các số nguyên dương, phân số \(\frac{a}{b}\) tối giản). Tổng \(a + b\) bằng bao nhiêu?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 712.

+ Số phần tử không gian mẫu \(n\left( \Omega \right) = 25.25\).

+ Gọi \(x,\,y \in \left\{ {2008;\,{{2008}^2};\,{{2008}^3};\,...;\,{{2008}^{24}};\,{{2008}^{25}}} \right\}\)

\( \Rightarrow x = {2008^m},\,y = {2008^n};\,m,n \in \left\{ {1,\,2,\,3,\,...,\,24,\,25} \right\}\)

\({\log _x}y = {\log _{{{2008}^m}}}{2008^n} = \frac{n}{m} \in \mathbb{Z} \Rightarrow n \vdots m\).

Xét các trường hợp sau

+ \(m = 1\) có 25 số \(n\).

+ \(m = 2\) có 12 số \(n\).

+ \(m = 3\) có 8 số \(n\).

+ \(m = 4\) có 6 số \(n\).

+ \(m = 5\) có 5 số \(n\).

+ \(m = 6\) có 4 số \(n\).

+ \(m = 7\) có 3 số \(n\).

+ \(m = 8\) có 3 số \(n\).

+ \(m = 9\) có 2 số \(n\).

+ \(m = 10\) có 2 số \(n\).

+ \(m = 11\) có 2 số \(n\).

+ \(m = 12\) có 2 số \(n\).

+ \(m = 13\) có 1 số \(n\).

+ \(m = 14\) có 1 số \(n\).

…

+ \(m = 25\) có 1 số \(n\).

+ \(n\left( A \right) = 25 + 12 + 8 + 6 + 5 + 4 + 2.3 + 4.2 + 13 = 87\)

+ \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{93}}{{25.25}} = \frac{{87}}{{625}} \Rightarrow a = 87,\,b = 625 \Rightarrow a + b = 87 + 625 = 712\).