Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục là 10m. Các kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị.
14/22
Xét chuyển động của một tàu lượn trên đoạn đường ray có hình dạng một phần đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{135x - {x^2} - {x^3}}}{{200}}\quad \left( {x \ge 0} \right),\) trong đó \(x\) là khoảng cách theo phương ngang kể từ điểm \(A\), \(y\) là độ cao tương ứng của tàu lượn so với phương ngang \(AB\).
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục là \(10{\rm{m}}\)). Các kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị.
[TH] Độ dài đoạn \(AB\) bằng \(111{\rm{m}}\).
[TH] Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực trị tại \({x_0} = \frac{{\sqrt {406} - 1}}{3}\).
[TH] Độ cao lớn nhất của tàu lượn so với phương ngang \(AB\) là \(64{\rm{m}}\).
[TH] Khi tàu lượn đi qua điểm \(A\), tiếp tuyến của quỹ đạo tại \(A\) hợp với phương ngang \(AB\) một góc \(\alpha \approx 34^\circ \).
a) Điểm \(B\) là giao điểm của đồ thị với trục hoành nên:
\(f\left( x \right) = 0 \Rightarrow 135x - {x^2} - {x^3} = 0 \Leftrightarrow \)\(x\left( {135 - x - {x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{{ - 1 + \sqrt {541} }}{2}\\x = \frac{{ - 1 - \sqrt {541} }}{2}\end{array} \right.\)
Ngoài nghiệm \(x = 0\) ứng với điểm \(A\), ta có: \({x_B} = \frac{{ - 1 + \sqrt {541} }}{2}\)
Suy ra: \(AB = {x_B} \cdot 10 \approx 111{\rm{m}}.\)
Chọn ĐÚNG
b) Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{135 - 2x - 3{x^2}}}{{200}}.\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \)\(135 - 2x - 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow \)\(x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {406} }}{3}.\)
Do \(x \ge 0\), suy ra: \({x_0} = \frac{{\sqrt {406} - 1}}{3}.\)
Chọn ĐÚNG
c) Độ cao lớn nhất ứng với giá trị cực đại của hàm số:
\({y_{\max }} = f\left( {\frac{{\sqrt {406} - 1}}{3}} \right) \approx 2,8.\)
Vì mỗi đơn vị trên trục tung ứng với \(10{\rm{m}}\), nên: \({H_{\max }} = 2,8 \cdot 10 = 28{\rm{m}}.\)
Chọn SAI
d) Hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị tại \(A\) là: \(f'\left( 0 \right) = \frac{{135}}{{200}}.\)
Do đó: \(\tan \alpha = \frac{{135}}{{200}} \Rightarrow \alpha \approx 34^\circ .\)
Chọn ĐÚNG