Chọn hệ trục toạ độ n
5/42
Gia chủ có một miếng đất có hình Elip với độ dài trục lớn bằng \({\rm{2}}\sqrt 6 {\rm{ m}}\), độ dài trục nhỏ bằng \({\rm{2 m}}\). Gia chủ muốn trồng hoa thành hình tam giác cân \(OAB\) với điểm \(O\) là tâm của Elip, các điểm \(A\) và \(B\) thuộc đường Elip nói trên. Diện tích trồng hoa lớn nhất bằng
\(4{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).
\(2{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).
\(\frac{{\sqrt 6 }}{2}{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).
\(1{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\).
Chọn hệ trục toạ độ như \[\left( {Oxy} \right)\] như hình vẽ.
Khi đó phương trình đường Elip là : \(\frac{{{x^2}}}{6} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1.\)
Không mất tổng quát, ta chọn điểm \(A\) và \(B\) thuộc \[\left( E \right)\] sao cho điểm \(A\) và \(B\) có hoành độ dương.
Do tam giác \[OAB\] cân tại \(O\) suy ra \(A\) đối xứng với \(B\) qua \[Ox\].
Gọi điểm A\(\left( {{x_{\rm{o}}};{y_{\rm{o}}}} \right)\)\( \Rightarrow \)B\(\left( {{x_{\rm{o}}}; - {y_{\rm{o}}}} \right)\);\(\left( {{x_{\rm{o}}} > 0} \right)\).
\[A \in \left( E \right):\frac{{x_0^2}}{6} + \frac{{y_0^2}}{1} = 1 \Rightarrow \left| {{y_0}} \right| = \frac{{\sqrt {6 - x_0^2} }}{{\sqrt 6 }}\].
Ta có \(AB = 2\left| {{y_0}} \right| = 2 \cdot \frac{{\sqrt {6 - x_0^2} }}{{\sqrt 6 }}\).
Gọi \(H\)là trung điểm \(AB\)thì \(H\left( {{x_0};0} \right) \Rightarrow OH = {x_0}\).
\({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OH \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot {x_0} \cdot 2 \cdot \frac{{\sqrt {6 - x_0^2} }}{{\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt {x_0^2\left( {6 - x_0^2} \right)} }}{{\sqrt 6 }} \le \frac{1}{{\sqrt 6 }} \cdot \frac{{x_0^2 + 6 - x_0^2}}{2} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi\(x_0^2 = 6 - x_0^2 \Rightarrow {x_0} = \sqrt 3 \Rightarrow {y_0} = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất bằng \(\frac{{\sqrt 6 }}{2}{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}.\)Chọn C.