Chọn 6 số phân biệt từ tập hợp X = {1;2;3;4;5;6;7;8;9} để xếp vào 6 ô hình tròn tại các đỉnh (A,B,C) và các trung điểm (M,N,P) của một tam giác như hình vẽ gốc.

Xét mệnh đề a)

Tập hợp \(X = \left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7;\,8;\,9} \right\}\) có tập số lẻ \(L = \left\{ {1;\,3;\,5;\,7;\,9} \right\}\) và tập số chẵn \(C = \left\{ {2;\,4;\,6;\,8} \right\}\)

Với tập số lẻ thì tổng số cách xếp \(3\) số vào \(3\) đỉnh là \(A_5^3\). Các bộ số tạo thành cấp số cộng (các trường hợp vi phạm) có \(4\) bộ $\left\{1;3;5\right\},\left\{3;5;7\right\},\left\{5;7;9\right\},\left\{1;5;9\right\}$

Mỗi bộ có \(3!\) cách xếp hoán vị vào \(3\) đỉnh nên số trường hợp vi phạm là \(4.3! = 24\)

Vậy số cách xếp thỏa mãn là \(60 - 4.3! = 36\) (cách)

Với tập số chẵn thì tổng số cách xếp \(3\) số vào \(3\) đỉnh là \(A_4^3\). Các bộ số tạo thành cấp số cộng là \(\left\{ {2;\,4;\,6} \right\},\,\left\{ {4;\,6;\,8} \right\}\)

Mỗi bộ này có \(3!\) cách hoán vị vào ba đỉnh nên số trường hợp vi phạm là \(2.3!\)

Vậy số cách xếp thỏa mãn là \(24 - 2.3! = 12\) (cách)

Vậy tổng số cách xếp là \(n\left( \Omega  \right) = 36 + 12 = 48\) (cách) nên mệnh đề a) đúng

Xét mệnh đề b)

Với tập số chẵn thì tổng số cách xếp \(3\) số vào \(3\) đỉnh là \(A_4^3\). Các bộ số tạo thành cấp số cộng là $\left\{1;3;5\right\},\left\{3;5;7\right\},\left\{5;7;9\right\},\left\{1;5;9\right\}$

Mỗi bộ này có \(3!\) cách hoán vị vào ba đỉnh nên số trường hợp vi phạm là \(2.3!\)

Vậy số cách xếp thỏa mãn là \(n\left( B \right) = 24 - 2.3! = 12\) (cách)

Xác suất để ba số ở các đỉnh \(\left( {A;\,B;\,C} \right)\) đều là số chẵn là: \(P = \frac{{12}}{{48}} = 0,25\) nên mệnh đề b) đúng

Xét mệnh đề c)

Trường hợp đỉnh lẻ gồm \(5\) số \(\left\{ {1;\,3;\,5;\,7;\,9} \right\}\) thì để \(A + B = 10\) với \(A,\,B\) là số lẻ thì ta có hai cặp là \(\left\{ {1;\,9} \right\}\) và \(\left\{ {3;\,7} \right\}\)

Cặp \(\left\{ {1;\,9} \right\}\) có \(2!\)(cách xếp) vào \(A,\,B\), còn lại các số \(\left\{ {3;\,5;\,7} \right\}\)(loại \(5\) do đã dùng ở \(P\)) nên \(C\) chỉ có thể là \(3\) hoặc \(7\) nên có \(2\) cách nên số cách là \(2.2 = 4\)(cách)

Cặp \(\left\{ {3;\,7} \right\}\) có \(2!\)(cách xếp) vào \(A,\,B\), còn lại các số \(\left\{ {1;\,5;\,9} \right\}\)(loại \(5\) do đã dùng ở \(P\)) nên \(C\) chỉ có thể là \(1\) hoặc \(9\) nên có \(2\) cách nên số cách là \(2.2 = 4\)(cách)

Vậy tổng trường hợp thỏa mãn cho số lẻ là: \(4 + 4 = 8\)(cách)

Trường hợp đỉnh chẵn gồm \(4\) số \(\left\{ {2;\,4;\,6;\,8} \right\}\)thì để \(A + B = 10\) với \(A,\,B\) là số chẵn thì ta có hai cặp là \(\left\{ {2;\,8} \right\}\) và \(\left\{ {4;\,6} \right\}\)

Cặp \(\left\{ {2;\,8} \right\}\) có \(2!\)(cách xếp) vào \(A,\,B\), còn lại các số \(\left\{ {4;\,6} \right\}\) nên \(C\) chỉ có thể là \(4\) hoặc \(6\) nên có \(2\) cách nên số cách là \(2.2 = 4\)(cách)

Cặp \(\left\{ {4;\,6} \right\}\)thì \(C\) phải là \(2\) hoặc \(8\).

Nếu \(C = 2\) thì bộ \(\left\{ {4;\,6;2} \right\}\) vi phạm vì nó tạo thành cấp số cộng ở đỉnh

Nếu \(C = 8\) thì bộ \(\left\{ {4;\,6;8} \right\}\) vi phạm vì nó tạo thành cấp số cộng ở đỉnh

Vậy tổng trường hợp thỏa mãn cho số lẻ là: \(4 + 0 = 4\)(cách)

Vì có ba vị trí trung điểm \(\left( {M,\,N,\,P} \right)\) là như nhau nên ta có \(n\left( C \right) = 3.12 = 36\) (cách)

Xác suất để chữ số \(5\) nằm ở vị trí trung điểm là: \(P = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega  \right)}} = \frac{{36}}{{48}} = 0,75\) nên mệnh đề c) sai

Xét mệnh đề d)

Ba số ở các đỉnh đều là đỉnh lẻ nên \(n\left( {{\Omega _D}} \right) = 36\)

Số bộ đỉnh lẻ có chứa số \(7\)(ở đỉnh hoặc trung điểm là): \(\left\{ {1;\,3;\,7} \right\},\,\left\{ {1;\,5;\,7} \right\},\,\left\{ {1;\,7;\,9} \right\},\,\left\{ {3;\,5;\,9} \right\},\,\left\{ {3;\,7;\,9} \right\}\)

Có \(5\) bộ chứa số \(7\) nên số cách sắp xếp thuận lợi là: \(n\left( D \right) = 5.6 = 30\)(cách)

Xác suất cần tính \[P = \frac{{n\left( D \right)}}{{n\left( {{\Omega _D}} \right)}} = \frac{{30}}{{36}} = \frac{5}{6} \approx 0,83\] nên mệnh đề d) đúng