Cho a và b là các số thực dương khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục tung mà cắt các đồ thị
28/30
Cho a và b là các số thực dương khác 1. Biết rằng bất kì đường thẳng nào song song với trục tung mà cắt các đồ thị \[y = {\log _a}x,y = {\log _b}x\] và trục hoành lần lượt tại A,B và H phân biệt ta đều có 3HA=4HB (hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây là đúng?
\[{a^3}{b^4} = 1\]
\[3a = 4b\]
\[4a = 3b\]
\[{a^4}{b^3} = 1\]
Gọi \[H\left( {{x_0};0} \right)\,\,\left( {{x_0} > 1} \right)\] ta có:\[A\left( {{x_0};{{\log }_a}{x_0}} \right);\,\,B\left( {{x_0};{{\log }_b}{x_0}} \right)\]
\[ \Rightarrow HA = {\log _a}{x_0};HB = - {\log _b}{x_0}\] (do\[{\log _a}{x_0} > 0,\,\,{\log _b}{x_0} < 0)\]
Theo bài ra ta có:\[3HA = 4HB \Leftrightarrow 3{\log _a}{x_0} = - 4{\log _b}{x_0}\]
\[\begin{array}{*{20}{l}}{ \Leftrightarrow 3{{\log }_a}{x_0} + 4{{\log }_b}{x_0} = 0}\\{ \Leftrightarrow \frac{3}{{{{\log }_{{x_0}}}a}} + \frac{4}{{{{\log }_{{x_0}}}b}} = 0}\\{ \Leftrightarrow \frac{{3{{\log }_{{x_0}}}b + 4{{\log }_{{x_0}}}a}}{{{{\log }_{{x_0}}}b.{{\log }_{{x_0}}}a}} = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_{{x_0}}}{b^3} + {{\log }_{{x_0}}}{a^4} = 0}\\{ \Leftrightarrow {{\log }_{{x_0}}}{a^4}{b^3} = 0}\\{ \Leftrightarrow {a^4}{b^3} = 1}\end{array}\]
Đáp án cần chọn là: D