Cho y = x^3 - 3x. Đường thẳng d: y = k(x + 1) + 2 cắt đồ thị tại ba điểm sao cho tiếp tuyến tại hai điểm vuông góc.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

  \[{x^3} - 3x = k(x + 1) + 2\]

  \[ \Leftrightarrow {x^3} - 3x - 2 = k(x + 1)\]

  \[ \Leftrightarrow (x + 1)({x^2} - x - 1) = k(x + 1)\]

Suy ra:

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{{x^2} - x - k - 2 = 0}\end{array}} \right.\]

Để đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt thì phương trình bậc hai

  \[{x^2} - x - k - 2 = 0\]

phải có hai nghiệm phân biệt khác -1.

Gọi \({x_1},{x_2}\)là hai nghiệm đó, ta có hệ thức Viète:

  \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 1}\\{{x_1}{x_2} =  - k - 2}\end{array}} \right.\]

Đạo hàm của hàm số:

  \[y'(x) = 3{x^2} - 3\]

Theo giả thiết, hai tiếp tuyến tại N,P vuông góc:

  \[y'({x_1}) \cdot y'({x_2}) =  - 1\]

  \[(3x_1^2 - 3)(3x_2^2 - 3) =  - 1\]

Biến đổi:

  \[9{({x_1}{x_2})^2} - 9(x_1^2 + x_2^2) + 10 = 0\]

  \[9{({x_1}{x_2})^2} - 9[{({x_1} + {x_2})^2} - 2{x_1}{x_2}] + 10 = 0\]

Thay Viète vào:

  \[9{( - k - 2)^2} - 9[1 - 2( - k - 2)] + 10 = 0\]

  \[ \Leftrightarrow 9{k^2} + 18k + 1 = 0\]

Giải ra:

  \[k = \frac{{ - 3 \pm 2\sqrt 2 }}{3}\]

Tích các giá trị của k là:

  \[\frac{{( - 3 + 2\sqrt 2 )( - 3 - 2\sqrt 2 )}}{9} = \frac{{9 - 8}}{9} = \frac{1}{9}\]

Mở rộng:

·        Công thức tổng quát: Tiếp tuyến vuông góc ⇔ tích hệ số góc \( = \; - 1\).

·        Dùng Viét để liên hệ nghiệm, thay vào điều kiện vuông góc để tìm tích các giá trị \(k\).