Cho ^xAy và điểm B nằm trong góc xAy. Kẻ đường thẳng BN vuông góc với Ay cắt Ax tại H;
7/11
Cho xAy^=60° và điểm B nằm trong góc xAy. Kẻ đường thẳng BN vuông góc với Ay cắt Ax tại H; kẻ đường thẳng BM vuông góc với Ax cắt Ay tại K (Hình 14).
Chứng minh:
a) Các tứ giác AMBN, HMNK là các tứ giác nội tiếp đường tròn;
b) HK = 2MN.
a) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, HK.
Khi đó MI, NI lần lượt là các đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB của các tam giác vuông AMB, ANB nên IM=IN=IA=IB=AB2.
Suy ra tứ giác AMBN nội tiếp đường tròn tâm I, đường kính AB.
Tương tự, tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn tâm J, đường kính HK.
b) Do tứ giác HMNK nội tiếp đường tròn nên tổng hai góc đối bằng 180°, suy ra HMN^+NKH^=180°
Mà AMN^+HMN^=180° (hai góc kề bù)
Nên AMN^=NKH^(=180°-HMN^) hay AMN^=AKH^.
Xét ∆AMN và ∆AKH có:
KAH^ là góc chung và AMN^=AKH^.
Do đó ∆AMN ᔕ ∆AKH (g.g)
Suy ra MNAH=ANAH (1)
Lại có tam giác AHN vuông tại N nên
cosHAN^=ANAH hay cos60°=ANAH, tức là ANAH=12.
Do đó AH = 2AN (2)
Từ (1) và (2) suy ra MNKH=ANAH nên HK = 2MN.