Cho x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx và x, y, z khác 0. Tính giá trị của phân thức Q = x^100/y^100 + y^100/z^100 + z^100/x^100.
Giải thích
Đáp án: 3.
Từ \({x^2} + {y^2} + {z^2} = xy + yz + zx\), ta nhân cả hai vế với 2:
\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx = 0\)
\(\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + \left( {{y^2} - 2yz + {z^2}} \right) + \left( {{z^2} - 2zx + {x^2}} \right) = 0\)
\({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} = 0\)
Vì bình phương của mọi số thực đều không âm nên đẳng thức chỉ xảy ra khi \(x - y = 0\), \(y - z = 0\) và \(z - x = 0\), tức là \(x = y = z\).
Khi đó ta có: \(Q = \frac{{{x^{100}}}}{{{y^{100}}}} + \frac{{{y^{100}}}}{{{z^{100}}}} + \frac{{{z^{100}}}}{{{x^{100}}}} = \frac{{{x^{100}}}}{{{x^{100}}}} + \frac{{{x^{100}}}}{{{x^{100}}}} + \frac{{{x^{100}}}}{{{x^{100}}}} = 1 + 1 + 1 = 3\).