Cho ( x^2 − y ) ( 3x + y^2 ) = A + ( 6x^4y − 2xy^4 ) : 2xy . a) Tìm đa thức A và hãy cho biết đa thức A có bậc là mấy?

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(\left( {{x^2} - y} \right)\left( {3x + {y^2}} \right) = A + \left( {6{x^4}y - 2x{y^4}} \right):2xy.\)

Suy ra \(A = \left( {{x^2} - y} \right)\left( {3x + {y^2}} \right) - \left( {6{x^4}y - 2x{y^4}} \right):2xy\)

\[ = {x^2}\left( {3x + {y^2}} \right) - y\left( {3x + {y^2}} \right) - \left[ {6{x^4}y:\left( {2xy} \right) - 2x{y^4}:\left( {2xy} \right)} \right]\]

\[ = 3{x^3} + {x^2}{y^2} - 3xy - {y^3} - \left( {3{x^3} - {y^3}} \right)\]

\[ = 3{x^3} + {x^2}{y^2} - 3xy - {y^3} - 3{x^3} + {y^3}\]

\[ = \left( {3{x^3} - 3{x^3}} \right) + {x^2}{y^2} - 3xy + \left( { - {y^3} + {y^3}} \right)\]

\[ = {x^2}{y^2} - 3xy.\]

Ta thấy hạng tử \[{x^2}{y^2}\] có bậc là 4, hạng tử \[ - 3xy\] có bậc là 2.

Do đó đa thức \(A = {x^2}{y^2} - 3xy\) có bậc là 4.

b) Thay \(x = - 1;\) \(y = 2\) vào \(A = {x^2}{y^2} - 3xy\) ta được:

\(A = {\left( { - 1} \right)^2} \cdot {2^2} - 3 \cdot \left( { - 1} \right) \cdot 2 = 4 + 6 = 10.\)

Vậy \(A = 10\) khi \(x = - 1;\) \(y = 2.\)