Cho x,y thỏa mãn điều kiện: 3( xcăn bậc hai của (y-9)+ycăn bậc hai của (x-9)

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức ab≤a2+b22 ∀a,b để chứng minh VT≥VP.

Khi đó dấu “=” xảy ra và ta tìm được x, y.

Cách giải

ĐKXĐ:x−9≥0y−9≥0⇒x≥9y≥9

Ta có:

3xy−9+yx−9=3xy−9+3yx−9=3x.x.y−9+3y.y.x−9=3x.xy−9x+3y.xy−9y=9x.xy−9x+9y.xy−9y

Với mọi a,b ta có: a−b2≥0⇒a2+b2−2ab≥0⇒2ab≤a2+b2⇒ab≤a2+b22

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a−b2=0⇒a=b

⇒9x.xy−9x≤9x+xy−9x2=xy29y.xy−9y≤9y+xy−9y2=xy2⇒9x.xy−9x+9y.xy−9y≤xy2+xy2=xy⇒VT≤VP

Mà theo đề bài VT=VP nên dấu “=” xảy ra

⇒9x=xy−9x9y=xy−9y⇒9x=xy−9x9y=xy−9y⇒xy−18=0yx−18=0⇒x=y=18do x≥9,y≥9⇒S=x−172018+y−192019=18−172018+18−192019=1−1=0.

Vậy S=0.