Cho x, y là hai số thực thỏa x > y và xy = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Với x>y, xy=1, ta có

P=x2+y2x−y=(x−y)2+2xyx−y=x−y+2x−y

Vì x>y⇒x−y>0; 2x−y>0 và xy = 1.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương x−y; 2x−y, ta có

x−y+2x−y≥22(x−y)x−y=22=22

Suy ra minP=22.

Dấu đẳng thức xảy ra ⇔x−y=2x−y⇔(x−y)2=2⇔x−y=2⇔x=y+2.

Mà xy=1⇒(y+2)y=1⇔y2+2y=1⇔y2+2y−1=0⇔y=6−22y=−6−22

Vậy minP=22 tại x=2+62y=−2+62hoặc x=2−62y=−2−62.