Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z lớn hơn hoặc bằng 2019. Tìm giá trị nhỏ nhất
Giải thích
Ta chứng minh bất đẳng thức a2x+b2y+c2z≥a+b+c2x+y+zvới a,b,c,x,y,z>0
Áp dụng bất đẳng thức Bu – nhi – a - cốp – xki cho ba bộ số ax;x,by;y,cz;z
ta có a2x+b2y+c2zx+y+z=ax2+by2+cz2x2+y2+z2
≥ax.x+by.y+cz.z2=a+b+c2
⇒a2x+b2y+c2z≥a+b+c2x+y+z (*)
Dấu “=” xảy khi khi ax=by=cz
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có yz≤y+z2;zx≤z+x2;xy≤x+y2
⇒T≥x2x+y+z2+y2y+z+x2+z2z+x+y2
=2x22x+y+z+2y2x+2y+z+2z2x+y+2z
=2x22x+y+z+y2x+2y+z+z2x+y+2z
Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có
T≥2x+y+z24x+y+z=x+y+z2=20192
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 673
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức T=20192 khi x = y = z = 673