Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn 2^x = 3^y = 6^ − z . Tính giá trị của biểu thức M = xy + yz + xz

Đặt \({2^x} = {3^y} = {6^{ - z}} = t\) với \(t > 0.\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^x} = t\\{3^y} = t\\{6^{ - z}} = t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {\log _2}t\\y = {\log _3}t\\z =  - {\log _6}t\end{array} \right..\)

Mặt khác: \({\log _6}t = \frac{1}{{{{\log }_t}6}} = \frac{1}{{{{\log }_t}3 + {{\log }_t}2}} = \frac{1}{{\frac{1}{{{{\log }_3}t}} + \frac{1}{{{{\log }_2}t}}}} = \frac{{{{\log }_3}t.{{\log }_2}t}}{{{{\log }_3}t + {{\log }_2}t}}\).

\[M = xy + yz + xz = {\log _3}t.{\log _2}t - {\log _3}t.{\log _6}t - {\log _6}t.{\log _2}t\]\[ = {\log _3}t.{\log _2}t - \left( {{{\log }_3}t + {{\log }_2}t} \right).{\log _6}t\]

\[ = {\log _3}t.{\log _2}t - \left( {{{\log }_3}t + {{\log }_2}t} \right).\frac{{{{\log }_3}t.{{\log }_2}t}}{{{{\log }_3}t + {{\log }_2}t}} = 0.\]