Cho x,y,z là các số thực lớn hơn 2021, thỏa mãn

Từ giả thuyết đề bài suy ra \(\frac{{2021}}{x} + \frac{{2021}}{y} + \frac{{2021}}{z} = 2\)

Do đó \(\frac{{x - 2021}}{x} + \frac{{y - 2021}}{y} + \frac{{z - 2021}}{z} = 3 - 2 = 1\)

Suy ra \(x + y + z = (x + y + z)\left( {\frac{{x - 2021}}{x} + \frac{{y - 2021}}{y} + \frac{{z - 2021}}{z}} \right)\) (*)

Do \(x,y,z > 2021\) nên \(x - 2021,y - 2021,z - 2021 > 0\). Vì thế, bằng cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai bộ ba số thực dương \(\left( {\sqrt x ,\sqrt y ,\sqrt z } \right)\) và \(\left( {\frac{{\sqrt {x - 2021} }}{{\sqrt x }},\frac{{\sqrt {y - 2021} }}{{\sqrt y }},\frac{{\sqrt {z - 2021} }}{{\sqrt z }}} \right)\), từ (*) ta được:

\(x + y + z \ge {(\sqrt {x - 2021}  + \sqrt {y - 2021}  + \sqrt {z - 2021} )^2}\)

Do đó, \(\sqrt {x + y + z}  \ge \sqrt {x - 2021}  + \sqrt {y - 2021}  + \sqrt {z - 2021} \).

(Đẳng thức xảy ra khi \(x = y = z = \frac{{6063}}{2}\)).