Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz.

5/5

Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức P=\(\frac{1}{{\sqrt {1 + {{\rm{x}}^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\rm{y}}^2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + {{\rm{z}}^2}} }}.\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Từ giả thiết x + y + z = xyz, ta có \(\frac{1}{{{\rm{xy}}}} = \frac{1}{{{\rm{yz}}}} = \frac{1}{{{\rm{xz}}}} = 1.\)

Dặt a=\(\frac{1}{{\rm{x}}};{\rm{b}} = \frac{1}{{\rm{y}}};{\rm{c}} = \frac{1}{{\rm{z}}} \Rightarrow {\rm{a}},{\rm{b}},{\rm{c}} > 0;\)

Giả thiết trở thành ab + bc + ca = 1; P =\(\frac{{\rm{a}}}{{\sqrt {1 + {{\rm{a}}^2}} }} + \frac{{\rm{b}}}{{\sqrt {1 + {{\rm{b}}^2}} }} + \frac{{\rm{c}}}{{\sqrt {1 + {{\rm{c}}^2}} }}\)

Đẻ ý rằng:

\({{\rm{a}}^2} + 1 = {{\rm{a}}^2} + {\rm{ab}} + {\rm{bc}} + {\rm{ca}} = \left( {{\rm{a}} + {\rm{b}}} \right)\left( {{\rm{a}} + {\rm{c}}} \right)\)

\({{\rm{b}}^2} + 1 = {{\rm{b}}^2} + {\rm{ab}} + {\rm{bc}} + {\rm{ca}} = \left( {{\rm{b}} + {\rm{a}}} \right)\left( {{\rm{b}} + {\rm{c}}} \right)\)

\({{\rm{c}}^2} + 1 = {{\rm{c}}^2} + {\rm{ab}} + {\rm{bc}} + {\rm{ca}} = \left( {{\rm{c}} + {\rm{a}}} \right)\left( {{\rm{c}} + {\rm{b}}} \right)\)

Lúc này ta có:

P=\(\frac{{\rm{a}}}{{\sqrt {\left( {{\rm{a}} + {\rm{b}}} \right)\left( {{\rm{a}} + c} \right)} }} + \frac{{\rm{b}}}{{\sqrt {\left( {{\rm{b}} + {\rm{a}}} \right)\left( {{\rm{b}} + c} \right)} }} + \frac{{\rm{c}}}{{\sqrt {\left( {{\rm{c}} + {\rm{a}}} \right)\left( {{\rm{c}} + {\rm{b}}} \right)} }}\)

=\(\sqrt {\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{a}} + {\rm{b}}}}.} \sqrt {\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{a}} + {\rm{c}}}}} + \sqrt {\frac{{\rm{b}}}{{{\rm{b}} + {\rm{a}}}}.} \sqrt {\frac{{\rm{b}}}{{{\rm{b}} + {\rm{c}}}}} + \sqrt {\frac{{\rm{c}}}{{{\rm{c}} + {\rm{a}}}}.} \sqrt {\frac{{\rm{c}}}{{{\rm{c}} + {\rm{b}}}}} {\rm{\;}}\)

Theo bất đẳng thức Cô-si (AM-GM), ta có:

P\( \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{\rm{a}}}{{{\rm{a}} + {\rm{b}}}} + \frac{{\rm{a}}}{{{\rm{a}} + {\rm{c}}}} + \frac{{\rm{b}}}{{{\rm{b}} + {\rm{a}}}} + \frac{{\rm{b}}}{{{\rm{b}} + {\rm{c}}}} + \frac{{\rm{c}}}{{{\rm{c}} + {\rm{a}}}} + \frac{{\rm{c}}}{{{\rm{c}} + {\rm{b}}}}} \right)\) hay P\( \le \frac{3}{2}\).

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =\(\frac{1}{{\sqrt 3 }}{\rm{\;hay\;x}} = {\rm{y}} = {\rm{z}} = \sqrt 3 \)

Vậy giá trị lớn nhất của P =\(\frac{3}{2}{\rm{\;}} \Leftrightarrow {\rm{x}} = {\rm{y}} = {\rm{z}} = \sqrt 3 .\)