Cho x , y , z là các số thực dương tùy ý khác 1 và xyz khác 1 . Đặt a = log x y , b = log z y . Mệnh đề nào sau đây đúng?

1/50

Cho \(x,{\rm{ }}y,{\rm{ }}z\) là các số thực dương tùy ý khác \(1\) và \(xyz\) khác \(1\). Đặt \(a = {\log _x}y\), \(b = {\log _z}y\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

\({\log _{xyz}}\left( {{y^3}{z^2}} \right) = \frac{{3ab + 2b}}{{a + b + 1}}\).

\({\log _{xyz}}\left( {{y^3}{z^2}} \right) = \frac{{3ab + 2a}}{{a + b + 1}}\).

\[{\log _{xyz}}\left( {{y^3}{z^2}} \right) = \frac{{3ab + 2b}}{{ab + a + b}}\].

\({\log _{xyz}}\left( {{y^3}{z^2}} \right) = \frac{{3ab + 2a}}{{ab + a + b}}\).

Giải thích

Ta có:\({\log _{xyz}}\left( {{y^3}{z^2}} \right) = 3{\log _{xyz}}y + 2{\log _{xyz}}z\)

\[ = \frac{3}{{{{\log }_y}\left( {xyz} \right)}} + \frac{2}{{{{\log }_z}\left( {xyz} \right)}}\]

\[ = \frac{3}{{{{\log }_y}x + {{\log }_y}z + 1}} + \frac{2}{{{{\log }_z}x + {{\log }_z}y + 1}}\]

\[ = \frac{3}{{{{\log }_y}x + {{\log }_y}z + 1}} + \frac{2}{{{{\log }_z}y \cdot {{\log }_y}x + {{\log }_z}y + 1}}\]

\[ = \frac{3}{{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 1}} + \frac{2}{{\frac{b}{a} + b + 1}} = \frac{{3ab}}{{ab + a + b}} + \frac{{2a}}{{ab + a + b}} = \frac{{3ab + 2a}}{{ab + a + b}}\]. Chọn D.