Cho \(x,y,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x + y + z = xyz.\) Chứng minh rằng:

   \(\frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} + \frac{{1 + \sqrt {1 + {y^2}} }}{y} + \frac{{1 + \sqrt {{z^2}} }}{z} \le xyz.\)

Từ \(x + y + z = zyz\; \Rightarrow \).  \(\frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}}\) = 1

Lại có: \(\frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x} = \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + } = \sqrt {\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{xy}} + \frac{1}{{yz}} + \frac{1}{{xz}}} \) (áp dụng \(\sqrt {ab} \le \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\))

\( \Rightarrow \frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} \le \frac{2}{x} + \frac{1}{{2y}} + \frac{1}{{2z}} \Rightarrow \frac{{1 + \sqrt {1 + {x^2}} }}{x} \le 3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z\)

Chứng minh:

                                       \(3\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) \le xyz\)

                \( \Leftrightarrow 3\left( {xy + yz + zx} \right) \le {\left( {xyz} \right)^2}\)

     \( \Leftrightarrow 3\left( {xy + yz + zx} \right) \le {\left( {x + y + z} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {x - y} \right)^2}2 + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {z - x} \right)^2} \ge 0\) (đúng)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu “=” xảy ra khi \(x = y = z = \sqrt 3 .\)