Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z nhỏ hơn hoặc bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Ta có xy+yz+zx≤x+y+z33≤13 nên 2017xy+yz+zx≥6051

Áp dụng BĐT x+y+z1x+1y+1z≥9 , ta có:

(x2+y2+z2)+(xy+yz+zx)+(xy+yz+zx)  1x2+y2+z2+1xy+yz+zx+1xy+yz+zx≥9⇔(x2+y2+z2+2xy+2yz+2zx)  1x2+y2+z2+1xy+yz+zx+1xy+yz+zx≥9

Hay 1x2+y2+z2 +  2xy+yz+zx≥9

Từ đó ta có: P=1x2+y2+z2 +  2xy+yz+zx+  2017xy+yz+zx≥9+6051=6060

⇔P≥6060Vậy GTNN của P là 6060 khi và chỉ khi x=y=z=13